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Produit scalaire

Publié : Le 12 Mars 2006 à 21:54
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Soit le plan E Soient deux vecteurs $vec u $et$vec v$de E, et trois points O, A et B tels que :$vec u $=$vec OA$ et $vec v$=$vec OB$ On...
-Soit le plan E -Soient deux vecteurs $vec u $et$vec v$de E, et trois points O, A et B tels que : _ $vec u $=$vec OA$ et $vec v$=$vec OB$ -On note $theta $l'angle géométrique $widehat AOB$
Plan E
Plan E
-On appelle produit scalaire de deux vecteurs $vec u $et$vec v$le nombre réel noté $vec u $.$vec v$tel que$vec u $.$vec v$=$|vec u|$x$|vec v|$x$costheta$ _ Donc $vec u $.$vec v$= OAxOBxcos$theta$

Propriétés

-Si les vecteurs $vec u $.$vec v$ sont colinéaires et de même sens : _ $theta$=0 -> cos$theta$=1 -> $vec u $.$vec v$=$|vec u|$x$|vec v|$ -Si les vecteurs $vec u $.$vec v$ sont colinéaires et de sens contraires : _ $theta$=$pi$ -> cos$theta$=-1 -> $vec u $.$vec v$=-$|vec u|$x$|vec v|$ Quels que soient les vecteurs $vec u $,$vec v$ et $vec w$ de E et deux réels α et β : -(α$vec u$)⋅(β$vec v$) = (αβ)×($vec u$ ⋅$vec v$) -$vec w$⋅($vec u$+$vec v$)= $vec w$ ⋅$vec u$ +$vec w$ ⋅$vec v$ -($vec u$+$vec v$)$^2$=$|vec u|^2$+$|vec v|^2$+2$vec u$.$vec v$ -($vec u$-$vec v$)$^2$=$|vec u|^2$+$|vec v|^2$-2$vec u$.$vec v$ -($vec u$+$vec v$).($vec u$-$vec v$)=$|vec u|^2$-$|vec v|^2$ -Si $vec u$⊥$vec v$ alors $vec u $.$vec v$=0
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