Fonction exponentielle

Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées.

Théorème : Il existe une unique fonction non nulle, dérivable sur R telle que f(0)=1 et qui soit solution de l’équation différentielle f ’=kf Cette fonction est la fonction exponentielle notée exp.

Propriétées :

exp x est noté $e^x$
exp(x)>0
exp′(x)= exp(x)
exp(0)= 1
exp(x+y)= exp(x)*exp(y)
exp(x-y)= exp(x)/exp(y)
1/exp(y)= exp(-y)
ln(expx)= x
exp(lnx)= x

Limites :

$\lim_{x \to -\infty}e^x$ = 0
$\lim_{x \to +\infty}e^x= +\infty$
$\lim_{x \to \0}\frac{e^x-1}{x}$ = 0
$\lim_{x \to+\infty}\frac{e^x}{x}= \infty$
$\lim_{x \to+\infty}\frac{e^x}{x^\alpha}$ = 0 si $\alpha$ >0
$\lim_{x \to-\infty}x^\alpha*e^x$ = 0 si $\alpha$ >0
$\lim_{x \to+\infty}\frac{ln x}{x^\alpha}$ = 0 si $\alpha$ >0