Produit scalaire

Produit scalaire

Soit le plan E
Soient deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de E, et trois points O, A et B tels que :
$\vec u$ = $\vec OA$ et $\vec v$ = $\vec OB$
On note $\theta$ l’angle géométrique $\widehat {AOB}$ Plan E
On appelle produit scalaire de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ le nombre réel noté $\vec u$ . $\vec v$ tel que $\vec u$ . $\vec v$ = $\|\vec u\|$ x $\|\vec v\|$ x $cos\theta$
Donc $\vec u$ . $\vec v$ = OAxOBxcos $\theta$

Propriétés

Si les vecteurs $\vec u$ . $\vec v$ sont colinéaires et de même sens :
$\theta$ =0 -> cos $\theta$ =1 -> $\vec u$ . $\vec v$ = $\|\vec u\|$ x $\|\vec v\|$
Si les vecteurs $\vec u$ . $\vec v$ sont colinéaires et de sens contraires :
$\theta$ = $\pi$ -> cos $\theta$ =-1 -> $\vec u$ . $\vec v$ =- $\|\vec u\|$ x $\|\vec v\|$

Quels que soient les vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ et $\vec w$ de E et deux réels α et β :
(α $\vec u$ )⋅(β $\vec v$ ) = (αβ)×( $\vec u$ ⋅ $\vec v$ )
$\vec w$ ⋅( $\vec u$ + $\vec v$ )= $\vec w$ ⋅ $\vec u$ + $\vec w$ ⋅ $\vec v$
( $\vec u$ + $\vec v$ ) $^2$ = $\|\vec u\|^2$ + $\|\vec v\|^2$ +2 $\vec u$ . $\vec v$
( $\vec u$ - $\vec v$ ) $^2$ = $\|\vec u\|^2$ + $\|\vec v\|^2$ -2 $\vec u$ . $\vec v$
( $\vec u$ + $\vec v$ ).( $\vec u$ - $\vec v$ )= $\|\vec u\|^2$ - $\|\vec v\|^2$
Si $\vec u$ ⊥ $\vec v$ alors $\vec u$ . $\vec v$ =0

Plan du site | statistiques | contact
Copyright 2005 - 2006

Exposés et cours en ligne

Articles en rapport :

Produit scalaire

Soit le plan E Soient deux vecteurs $\vec u $et$\vec v$de E, et trois (...)

Le diabète

Le diabète est un problème de santé croissant aux Etats-Unis maintenant (...)

2) Journal de comptabilité

Ecriture des Flux