Identitées remarquables

Identitées remarquables

Second degré

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Troisième degré

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Utilité

Les identités remarquables sont une sorte de « boîte à outils » pour la factorisation : lorsque l’on reconnaît une identité remarquable, la factorisation devient évidente.

Face à un problème de factorisation, il peut être utile de noter les identités remarquables sur un brouillon afin de pouvoir les comparer à l’expression à factoriser.

Démonstrations algébriques

$(a + b)^2$
$= (a + b)(a + b)$
$= a^2 + ab + ba + b^2$
$= a^2 + 2ab + b^2$ (grâce à la commutativité de la multiplication : ab = ba)

$(a - b)^2$
= $(a - b)(a - b)$
= $a^2 - ab - ba + b^2$
= $a^2 - 2ab + b^2$

$(a - b)(a + b)$
= $a^2 + ab - ba - b^2$
= $a^2 - b^2$

$(a + b)^3$
= $(a + b)^2(a + b)$
= $(a^2 + 2ab + b^2)(a + b)$
= $a^3 + 2a2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
= $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3$
= $(a - b)^2(a - b)$
= $(a^2 - 2ab + b^2)(a - b)$
= $a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$
= $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
= $a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$
= $a^3 + b^3$

L’identité avec $(a^3 - b^3)$ s’obtient de celle avec $(a^3 + b^3)$ en remplaçant b par -b.

Plan du site | statistiques | contact
Copyright 2005 - 2006

Exposés et cours en ligne

Articles en rapport :

Identitées remarquables

Second degré $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (...)